Дальше | Назад | Начало | Конец | Список |
2.4.5. Модель Бокса-Дженкинса (АРИСС)
Модель АРИСС - одну из наиболее популярных моделей для построения краткосрочных прогнозов - часто называют по имени авторов, предложивших методику ее применения для временных рядов, некоторая
d-я разность которых стационарна. Модель зависит от трех структурных целочисленных параметров p, d, q [обозначение - АРИСС(p, d, q)] и формально записывается в видеw t
= j 1 w t -1 + j 2 w t -2 + ... + j p w t -p - q 1 at-1 - q 2 at -2 - ... - q p at -q ,где
at - "белый шум"; w t = (Ñ d xt) - m ; Ñ d - оператор взятия разности порядка d, m - константа, определяющая средний уровень ряда. Параметры j являются параметрами авторегрессии, а параметры q - параметрами скользящего среднего.В общем случае рассматриваются только модели, удовлетворяющие условиям стационарности и обратимости: корни обоих полиномов для
j i и q i должны лежать внутри единичного круга |y| < 1. Тогда ошибка at представляет собой ошибку наилучшего прогноза на шаг вперед. Без условий стационарности и обратимости статистически корректный анализ модели невозможен.Важными специальными классами моделей АРИСС являются: модель авторегрессии - скользящего среднего АРСС(
p, q) = АРИСС(p, 0, q)yt = j 1 yt -1 + j 2 yt -2 + ... + j p yt -p - q 1 at-1 - q 2at -2 - ... - q p at -q ,
где
yt = xt - m ; d = 0, а также модель ИСС(d, q) = АРИСС(0, d, q), в которой p = 0. Очевидно, что и модель авторегресии АР(p) можно представить как частный случай АРИСС(p, 0, 0), для которой d = q = 0. Другой частный случай - модель скользящего среднего СС(q), для которой p = d = 0.Первый шаг идентификации моделей АРИСС - определение порядка разности
d, который должен быть выбран так, чтобы ряд w t = (Ñ d xt) был стационарным. Для определения d текущие разности ряда последовательно тестируются на стационарность. На практике часто оказывается, что адекватное описание наблюдаемых временных рядов достигается при помощи моделей, в которых p и q не больше, а часто и меньше 2.Некоторые результаты прогонки моделей АРИСС для ряда СКОРОСТЬ представлены в табл. 2.5.
Таблица
2.5Критерии качества полученных моделей АРИСС
Характеристика модели |
Модель АРИСС |
||
(1,0,1) |
(1,1,0) |
(2,2,0) |
|
Скорректированный коэффициент детерминации Среднее ряда остатков Стандартная ошибка ряда остатковСтатистика Дарбина-Уотсона Тест Хи-квадрат на белый шум |
0.000715 1.5051 1.965 51.56 |
0.000782 1.6932 2.314 95.19 |
-0.00594 2.1298 2.363 93.28 |
Очевидно, что учет первого порядка разности - модель АРИСС(1,1,0) - несколько улучшает свойства модели, однако дальнейшее увеличение параметра d приводит к вырождению моделируемого процесса (что является проявлением принципа экономичности моделей). Следует отметить, что модели АРИСС и ИСС не предъявляют жестких требований к стационарности исходного ряда вследствие применения нелинейного фильтра
.После оценки на стационарность остатков полезно оценить ошибки в определении коэффициентов
j i и q i. Например, самая эффективная модель в табл. 2.5 - модель АРИСС(1, 0, 1), дающая ряд остатков, близкий к "белому шуму", - имеет следующие коэффициенты:
Коэффициенты модели |
Значение коэффициента |
Стандартная ошибка |
t-критерий |
Константа m |
4.755 |
0.03891 |
122.2 |
j i для АР(1) |
0.983 |
5.531 |
0.1777 |
q i для СС(1) |
0.7951 |
0.01192 |
66.7 |
Очевидный дефект модели - недостоверность коэффициента авторегрессии, что дополнительно свидетельствует о близости ряда к теоретическому процессу скользящего среднего.
Наилучшая модель АРИСС(3,
0, 0) ряда NH4+ (упоминаемая в дальнейшем изложении как модель R1), полученная перебором всех p, d и q до 3-го порядка, имеет видx
t = 17.264 + 0.421 xt -1 + 0.15 xt -2 + 0.237 xt -3 ;среднеквадратичная ошибка ряда остатков 59.68; график модели
представлен на рис. 2.24.
Дальше | Назад | Начало | Конец | Список |